51 utenti della rete istituito questa curiosit : Spiegami: cos'è il numero graham e quanto è grande.
Spiegami: cos'è il numero grahams e quanto è grande.
Ed ecco le risposte:
Immagina quattro punti su un piano, come gli angoli di un quadrato. Collega quei quattro punti con delle linee per formare un quadrato con una X che collega gli angoli opposti. Puoi usare due colori diversi per quelle linee, rosso e blu. L'obiettivo è quello di rendere quel quadrato + X senza che abbia tutto le linee sono dello stesso colore.
Puoi farlo? Con un quadrato bidimensionale, ovviamente! È facile.
Ora immagina un cubo 3D. Fai la stessa cosa: collega tutti i punti con le linee in modo da creare sei quadrati + X, uno su ogni faccia del cubo, oltre a molti altri angoli contrapposti di collegamento. Non ci occupiamo delle forme 3D che crei con queste linee, ma solo dei quadrati 2D. Ancora una volta, è possibile farlo senza fare casualmente uno dei quadrati con le stesse linee di colore?
Ancora una volta, la risposta è sì, ovviamente. E che dire di un ipercubo a 4 dimensioni? O un superpercubo a 5 dimensioni? O 6D? 7D? 8D? Ad un certo punto, con un certo numero di dimensioni, diventerà impossibile. Da qualche parte tra i tanti, molti quadrati 2D realizzati con le linee lì alla fine sarà uno realizzato con linee dello stesso colore. Quindi, quante dimensioni devi aggiungere al “gioco” per renderlo una certezza?
La risposta è che nessuno lo sa. È davvero difficile da capire e troppo complesso per essere brutale forzarlo con un computer testando ogni numero di dimensioni. Quello che sanno sanno che il limite inferiore e il limite superiore. Il limite inferiore è il numero minimo che i matematici sanno quando potrebbe sia il caso, e il limite superiore è il numero in cui sanno che è sicuramente il caso. Potrebbe essere inferiore a quello;probabilmente è inferiore a quello, ma i matematici sono certo che accade al limite superiore.
Il numero di Graham è quel limite superiore. È decisamente il caso che se si dispone di un “ipercubo” di dimensioni uguali al numero di Graham, creerai una di quelle forme quadrate + X con linee dello stesso colore, non importa quanto ti sforzi di non farlo.
Il numero di Graham non è mai stato effettivamente calcolato. È troppo grande. I matematici hanno capito l'ultimo tipo, 100 cifre o qualcosa del genere, però.
Per arrivare al numero di Graham, hai bisogno di una notazione speciale, una freccia su: ↑. Ciò significa prendere il potere di qualcosa, quindi 3 ↑ 3 è lo stesso di 3 ^ (3). Successivamente, 3 ↑↑ 3 è 3 ↑ (3 ^ (3)) (o 3 ^ 3 ^ 3), che è uguale a 19683).
Quindi, prendi 3 ↑↑↑ 3, che è uguale a 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3). Quello è un grande numero di culo . Questo non è il numero di Graham. Quel numero è il numero di frecce da riutilizzare. Quindi 3 ↑ ^ (3 ↑↑↑ 3) 3. Prendi quel numero – che è già più grande di 10 ^ 100 (un googol, che a sua volta è più grande del numero di particelle nell'universo osservabile), e usalo di nuovo per definire il numero di frecce. Ripeti fino a quando non lo hai fatto un numero totale di 64. Quello è il numero di Graham. Dire che è molto grande è un eufemismo. Se scrivessi un googol su ogni particella nell'universo osservabile e poi li aggiungessi tutti insieme, sarebbe molto meno del numero di Graham.
Contare ogni atomo nell'universo e contrassegnalo con un numero. Il numero di Graham è più grande.
Contare di nuovo gli atomi e contrassegnarli con un secondo numero. Il numero di Graham è più grande.
Continua a contare gli atomi e contrassegnandoli con i numeri. Quando l'universo collassa in un buco nero dal peso extra dell'inchiostro che hai usato per contrassegnare i numeri sugli atomi, sei vicino al numero di Graham.
È incredibilmente grande. È così grande che non puoi nemmeno usare la notazione scientifica (10 ^ 999 …) per scriverlo e invece utilizzare una notazione speciale .
A cosa serve? Non posso rispondere correttamente perché è fuori dal mio campo di studio. Qualcosa a che fare con la ricerca dell'ordine in problemi su larga scala.
La risposta breve è, per quanto grande sia un numero che si possa immaginare, è più grande. Sul serio. Non è nemmeno utile dire che qualche figura enorme come il numero di atomi nell'universo “non si avvicina”, perché ciò suggerisce che forse qualcos'altro si avvicina. Niente fa. Nulla che possiamo immaginare, anche vagamente, ti avvicina alla scala del numero di Graham.
Persino quel tipo di storie che puoi inventare, dove qualcosa impiega un tempo incredibilmente lungo, e poi le impilate insieme. Per esempio:
- ogni 1000 anni, un uomo prende un cucchiaino d'acqua dall'oceano.
- quando tutti gli oceani della terra sono esauriti, un foglio di carta viene posto a terra e gli oceani vengono riempiti. il processo continua fino a quando non viene aggiunto un altro foglio alla pila.
- quando la risma di carta raggiunge il sole, prendo un singolo atomo da Giove e la risacca ricomincia.
- quando Giove se n'è andato, faccio qualcos'altro
- ecc., ecc.
Non importa ancora. Quello che scelgo per ogni passaggio, quanti passaggi eseguo insieme, semplicemente non fa differenza. Il tempo, in anni o in nanosecondi, è ancora incomprensibilmente lontano dal numero di Graham.
Quindi ora che abbiamo stabilito che è uno sforzo irrimediabilmente inutile, è un numero reale e specifico che è stato usato in una legittima prova matematica. Quindi può essere compreso in qualche modo. Lo lascerò ad altri commentatori poiché non conosco i dettagli del problema che risolve. Ma quello che posso aiutare è come è scritto e quanto velocemente si fa esplodere cercando di farcela da numeri regolari.
Per discutere il numero di Graham useremo una notazione comunemente chiamata “freccia in su”, ma non so come scriverlo in MassimoL, quindi difficilmente che conta. Il punto importante è che in qualche modo estende la relazione tra addizione, moltiplicazione ed esponenziazione.
Per moltiplicare un numero per un altro numero n , aggiungi il primo numero a se stesso n volte. Ad esempio 4×5=4 + 4 + 4 + 4 + 4. Conosciamo tutti questo.
Allo stesso modo, per esponenziare, moltiplichiamo un certo numero di volte di seguito. Ad esempio 4 ^ 5=4x4x4x4x4. Questo cresce MOLTO più velocemente della moltiplicazione.
Quindi il concetto di freccia su si estende ulteriormente. Se chiamiamo esponenziazione “ordine 0”, l'operazione “ordine 1” sarebbe quella di esponenziare più volte di seguito.
3 (ordine 1) 3 è l'esempio che userò. Questo sarebbe 3 ^ (3 ^ 3) – valutando dall'alto verso il basso, che diventa 3 ^ 27 che è qualcosa come 7,6 trilioni. Questo esplode ancora più rapidamente dell'espiazione, ovviamente.
Ora per ordinare 2. Sarebbe 3 (ordine 1) (3 (ordine 1) 3). Conosciamo già la parte superiore, quindi abbiamo 3 (ordine 1) 7,6 trilioni. Ed è qui che le cose vanno da grandi a impossibili.
3 ^ (3 ^ 3) è già esploso velocemente. Aggiungendo un altro 3, avremmo 3 alla potenza di 7,6 trilioni. Questo è un numero con trilioni di cifre. La sola memorizzazione richiederebbe un disco rigido moderno per intero, per non parlare del suo calcolo. Tuttavia, è almeno immaginabile , in un certo senso.
Aggiungine un altro 3. Siamo al massimo a 3 (ordine 1) 5 ora, e per fortuna. Solo affermando il numero di cifre che questo numero ha richiesto richiede una comprensione della scala effettiva di 3 (ordine 1) 4, che era già di grande portata. Annotare 3 (ordine 1) 5 non è fisicamente possibile nell'universo osservabile. Solo esprimere il numero di cifre che ha è uno sforzo significativo.
Torna all'ordine 2, nel caso in cui ti fossi dimenticato dove eravamo. Volevamo 3 (ordine 1) 7,6 trilioni, e i limiti della nostra comprensione sono notevolmente scesi quando siamo arrivati a 5. È impossibile sopravvalutare la velocità con cui questo numero esplode mentre cerchiamo di arrivare a 7,6 trilioni. A questo punto tutto ciò che possiamo fare è parlarne.
Per iniziare a parlare del numero di Graham, abbiamo bisogno dell'ordine 3. In particolare, 3 (ordine 3) 3 proprio come negli esempi precedenti. Non proverò nemmeno a immaginarlo, basti dire che è fuori portata. Tutto ciò che ho detto all'inizio sul numero di Graham è vero anche per questo numero. Inferno, era vero per l'ordine 2.
3 (ordine 3) 3 si chiama G_1 e definiamo l'insieme G in modo ricorsivo:
G_ (n + 1)=3 (ordina G_n) 3
Un po 'magnificamente, questo significa che possiamo pensare a G_0 come 3 stesso.
Per ricapitolare, G_0=3 e G_1 è già incommensurabilmente lontano dalla comprensione. Per provare a calcolarlo, sei condannato molto rapidamente perché l'operazione ordine 1 esplode incommensurabilmente più velocemente degli esponenti, e l'ordine 2 incommensurabilmente più veloce di così, e così via. Il set G stesso utilizza il valore precedente come ordine del operazione per generare ogni valore successivo. G_2 comporta un calcolo G_1 dell'ordine. Non siamo nemmeno ben equipaggiati per parlare della velocità con cui questo set G esplode. E non siamo riusciti a decollare con il calcolo di G_1.
Il numero di Graham è G _ 64.
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