2532 utenti della rete avevano questa curiosità: Spiegami C'è una ragione per cui i decimali di pi continuano all'infinito (o almeno sembrano)? O è solo così?
Modifica: grazie per le risposte a tutti! Da quello che posso capire, pi greco è proprio così, e anche altri numeri irrazionali sono così.
Ed ecco le risposte:
È proprio così.
Pi greco è un irrazionale numero, il che significa che non può essere (completamente e accuratamente) espresso come rapporto di due numeri interi. Ciò significa che, come espressione decimale, le cifre andranno avanti all'infinito senza uno schema chiaro.
Al contrario, razionale i numeri (che possono essere tutti espressi come un rapporto di due numeri interi) hanno espressioni decimali che terminano (come 3/4=0,75 esattamente) o si ripetono (come 1/3=0,33333…).
I numeri reali sono molto più densi negli irrazionali, comunque.
Accade così che nel nostro universo quadrati e cerchi siano incommensurabili tra loro (non possono essere usati per misurarsi esattamente a vicenda). Se prendi gli interi numerabili per rappresentare la lunghezza dei lati di un dato quadrato, allora non ci sarà mai un numero che possa essere rappresentato da una qualsiasi combinazione di interi numerabili per rappresentare la lunghezza dei lati di un cerchio corrispondente che è inscritto all'interno quel quadrato (avente lo stesso diametro del lato di quel quadrato). Il rapporto tra questi lati può essere approssimato come 3.14159…. Ma se vogliamo parlarne direttamente dobbiamo usare il termine pi greco e riconoscere che qualsiasi descrizione decimale dei numeri che stiamo manipolando sarà un'approssimazione.
Molte altre cose nel nostro universo sono anch'esse incommensurabili tra loro: ad esempio, la distanza tra due angoli opposti di un quadrato è incommensurabile con i lati di quel quadrato in modo diverso rispetto ai lati del quadrato e al cerchio inscritto. Parliamo quindi di questo rapporto come “la radice quadrata di due”
I numeri irrazionali sono così. Non è possibile alcun rapporto esatto utilizzando numeri interi.
Questo è leggermente diverso dai decimali infiniti, numeri razionali come !/3 o 3/7 che non possono mai essere espressi in termini di un rapporto superiore a 10 (in base dieci). 3/7 in base 7 sarebbe 3, e 1/3 in base 3 sarebbe 1, ma poi 3/10 sarebbe un numero infinito in una di queste basi.
È difficile rispondere alla domanda “c'è una ragione”, perché è una specie di modo sbagliato di vedere la cosa. Potresti chiedere, c'è un motivo per cui 4 è compreso tra 5 e 3 sulla linea dei numeri naturali? Questo è proprio quello che significa essere il numero 4. Non ha molto senso la domanda sul perché sia il numero tra 5 e 3. Non c'è alcuna spiegazione causale o storica a cui fare appello.
Ci sono, tuttavia, domande adiacenti che possono essere poste, che potrebbero aiutarti a capire meglio cosa sta succedendo. La retta numerica composta da numeri interi in sequenza, come 1,2,3,4… e così via, sono i numeri naturali. Quando aggiungiamo i decimali nel mix, otteniamo numeri tra i numeri naturali. La linea di numeri chiamata “The Reals” include tutti i numeri che si trovano tra i numeri interi, come 1,2,3,4. I Real hanno una proprietà che a volte viene chiamata “densità”. Ciò significa che per ogni due numeri, c'è un altro numero tra di loro. Tra 1 e 2 c'è 1.1. Tra 1 e 1.1 c'è 1.01. Tra 1 e 1,01, c'è 1,001. Ecc. Se lo fai abbastanza, ti renderai conto molto rapidamente che questo processo può continuare all'infinito, creando un'espansione infinita di cifre decimali per ogni nuovo numero che generi usando questo metodo. Quindi, è solo una proprietà dei numeri reali che continuano all'infinito così, con un'espansione decimale infinita che è il risultato di questa proprietà di densità. Pi greco è solo uno dei numeri sulla linea dei reali e continua all'infinito.
Ciò che rende Pi unico tra i numeri che vanno avanti all'infinito è che è un numero irrazionale. Ciò significa che non può essere espresso come frazione. Ciò significa anche che i numeri nella riga non si ripetono. Confrontalo con un numero come 1/3. Questo è .33333…(3 si ripete all'infinito). Pi e il numero scelto da 1/3 continuano entrambi all'infinito. Ma Pi non si ripete.
Quindi, qual è il motivo per cui Pi va avanti per sempre? Perché è un numero reale e i numeri reali hanno infinite espansioni decimali che creano una linea numerica densa. Perché sono così? Questo è proprio quello che significa essere un numero reale. Tanto vale chiedersi perché un quadrato ha 4 lati. Questa è solo una parte di ciò che significa essere un quadrato.
Insomma, sia proprio così.
La domanda “Perché i decimali di pi continuano all'infinito senza ripetersi?” è la domanda sbagliata. Dal nostro punto di vista può sembrare che questa sia una cosa miracolosa e unica. Ma questo non può essere più lontano dalla verità. Quasi tutto i numeri hanno questa proprietà. In realtà è una proprietà intrinsecamente noiosa e non speciale che ha la maggior parte dei numeri. In effetti, è così raro che NON sia così che se scegli un numero reale casuale compreso tra 0 e 1, allora c'è una probabilità del 100% che le sue cifre continuino all'infinito, senza ripetersi, e contengano infinite copie di ogni numero finito sequenza di cifre.
(Nota: 0% non significa “impossibile” in matematica e 100% non significa “garantito che accada”, vedi Quasi tutto per una discussione tecnica Il succo è che se hai infiniti risultati ugualmente possibili, allora un risultato individuale non può avere una probabilità positiva poiché potresti sommare abbastanza probabilità insieme per ottenere qualcosa oltre il 100%, il che non può accadere.)
La vera domanda, quando hai un numero, è: perché non lo farei i decimali vanno avanti all'infinito senza ripetersi? Cioè, hai bisogno di un motivo specifico per rendere il numero speciale come con i suoi decimali che alla fine si ripetono o qualcosa del genere. Questo è di solito uno speciale aritmetica proprietà o relazione. Per pi, non esiste tale relazione.
Inoltre, abbiamo già dimostrato che le cifre di pi continuano all'infinito senza ripetersi. Quindi lo sappiamo come un dato di fatto.