Come facciamo a sapere alcuni numeri, come Pi sono infiniti, anziché solo un numero molto lungo?

Parole da sapere: un numero irrazionale, come pi, è “infinito”. Un numero razionale, come 1/2, può essere espresso come rapporto di due numeri interi. I numeri irrazionali sono tutto il resto. Tutti i numeri sono l'uno o l'altro, ma non entrambi. 1/3 è razionale anche se se lo scrivi come un decimale il decimale non finisce mai.

Risposta breve: un modo comune è quello che viene chiamato prova per contraddizione. Facciamo finta che il numero irrazionale sia effettivamente razionale e mostriamo che significa che qualcosa di impossibile è vero (come 1==0). Dal momento che non può essere così, il numero non è razionale. Pertanto è irrazionale.

Tali prove tendono ad essere abbastanza tecniche, quindi è difficile fare un Spiegami per loro. Wikipedia ha diverse prove che sqrt (2) è irrazionale. Ricordo una prova abbastanza semplice per contraddizione nel mio libro di testo astratto in matematica, ma non ce l'ho più e non la vedo sulla pagina di Wikipedia. Penso che fosse simile alla dimostrazione di discendenza infinita ma sono passati anni.

Il termine che stai cercando è irrazionale . Numeri come pi sono irrazionali , nel senso che non possono essere espresso come rapporto tra due numeri interi.

Esistono molte prove di irrazionalità, ecco alcuni esempi di prove che la radice quadrata di due è irrazionale:
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2#Proofs_of_irrationality

Sappiamo che numeri come pi sono irrazionale (sidenote: non tutti i numeri con un'espansione decimale infinita sono irrazionali. es. 1/3=0. 33333 …) perché abbiamo dimostrato che sono irrazionali. Non esiste davvero un modo generale per decidere se un numero è razionale o meno, quindi deve essere provato per ogni numero.

Ad esempio, c'è una prova semplice che sqrt (2) è irrazionale che era noto ai Greci migliaia di anni fa. Esistono diverse prove che pi è irrazionale (vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF% 80 _ is_irrational ) che sono abbastanza tecnici ma che richiedono solo qualche conoscenza del calcolo. Tuttavia ci sono alcuni numeri che sembrano come devono essere irrazionale, come e + pi, ma in realtà non lo sappiamo perché non è stato provato.

ITT tutti implorando la domanda .

Fondamentalmente:

1. persone che istruiscono OP che il termine appropriato per la loro domanda è un “numero irrazionale”

2. che definisce un numero irrazionale come uno che non può essere dato come rapporto di due numeri interi

3. citando una prova della natura irrazionale della radice quadrata di 2

4. che dice a OP che pi è un “numero irrazionale” perché non può essere espresso come un rapporto di due numeri interi

Quindi, per uscire da questo ciclo, lasciami porre la domanda più direttamente: come facciamo a sapere che pi è irrazionale?

Possiamo trovare pi dalla serie Gregory-Leibniz che usiamo la formula Π=(4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4 / 11) + (4 / ) – (4 / 11) …

Come puoi immaginare, può andare avanti all'infinito.